Αριθμοφοβία

«Τα μαθηματικά ήταν πάντα το χειρότερό μου μάθημα».

«Ένα εκατομμύριο δολάρια, ένα δισεκατομμύριο, ένα τρισεκατομμύριο, όσο να ’ναι. Δεν έχει σημασία, φτάνει να λυθεί το πρόβλημα».

«Ο Τζέρυ κι εγώ δεν θα πάμε στην Ευρώπη. Πώς να πάμε, με όλους αυτούς τους τρομοκράτες».

Η αριθμοφοβία, η αδυναμία να χειριστούν με άνεση τις βασικές έννοιες των αριθμών και της τύχης, βασανίζει πάρα πολλούς κατά τα άλλα ενημερωμένους πολίτες. Οι ίδιοι άνθρωποι, που ανατριχιάζουν όταν συγχέονται λέ­ξεις όπως «συνεπάγεται» και «συνάγεται», δέχονται χω­ρίς ίχνος στενοχώριας τους χειρότερους αριθμητικούς σο­λοικισμούς. θυμάμαι κάποτε, σε μια παρέα, κάποιον να μας τριβελίζει τ’ αυτιά για τη διαφορά μεταξύ του «διαρ­κώς» και του «συνεχώς». Αργά το ίδιο βράδυ βλέπαμε τις ειδήσεις και ο μετεωρολόγος ανακοίνωσε ότι υπήρχε 50% πιθανότητα βροχής το Σάββατο και 50% πιθανότητα την Κυριακή, και συμπέρανε ότι υπήρχε επομένως 100% πιθανότητα βροχής εκείνο το Σαββατοκύριακο. Η παρα­τήρηση αυτή δεν ενόχλησε καθόλου τον αυτόκλητο ειδήμο­να της γραμματικής, και ακόμη κι όταν του εξήγησα το λάθος η αγανάκτησή του ήταν πολύ μικρότερη απ’ ό,τι αν ο μετεωρολόγος είχε κάνει λάθος σε μια μετοχή. Πράγμα­τι, αντίθετα με άλλες αδυναμίες, ο μαθηματικός αναλφα­βητισμός συχνά επιδεικνύεται με καμάρι. Ακούμε: «Εγώ δεν μπορώ καν να ισοσκελίσω το μπλοκ των επιταγών μου», ή «Εγώ τα πάω καλά με τους ανθρώπους, όχι με τους αριθμούς», ή «Πάντοτε μισούσα τα μαθηματικά».

Αυτή η διεστραμμένη περηφάνια όσον αφορά την ά­γνοια των μαθηματικών οφείλεται εν μέρει στο ότι οι συνέπειές της δεν είναι συνήθως τόσο προφανείς όσο ε­κείνες άλλων αδυναμιών. Γι’ αυτόν το λόγο, και επειδή πιστεύω ακράδαντα ότι οι άνθρωποι ανταποκρίνονται κα­λύτερα σε παραδειγματικές περιπτώσεις παρά σε γενικές παρουσιάσεις, αυτό το βιβλίο θα εξετάσει πολλά παρα­δείγματα αριθμοφοβίας παρμένα από τον πραγματικό κόσμο – μεταξύ άλλων, κομπίνες με μετοχές, εκλογή συζύ­γου, πνευματιστές εφημερίδων, διαιτητικές συνταγές και ιατρικούς ισχυρισμούς, κινδύνους τρομοκρατίας, αστρολο­γία, αθλητικά ρεκόρ, εκλογές, διακρίσεις λόγω φύλου, UFO, λαχεία, ασφάλιση και νομοθεσία, ψυχανάλυση, πα­ραψυχολογία και έλεγχο για χρήση ναρκωτικών.

Προσπάθησα να μη μιλήσω πολύ από καθέδρας και να μην κάνω πάρα πολλές σαρωτικές γενικεύσεις σχετικά με τη λαϊκή κουλτούρα ή το εκπαιδευτικό μας σύστημα (όπως ο Allan Bloom), έκανα όμως ορισμένες γενικές παρατη­ρήσεις και σχόλια που ελπίζω ότι υποστηρίζονται από τα παραδείγματα. Κατά τη γνώμη μου, μερικά από τα εμπό­δια στον άνετο χειρισμό των αριθμών και των πιθανοτή­των οφείλονται σε πολύ φυσιολογικές ψυχολογικές αντι­δράσεις μπροστά στην αβεβαιότητα, στη σύμπτωση ή στον τρόπο με τον οποίο διατυπώνεται ένα πρόβλημα. Άλλα μπορούν να αποδοθούν στο άγχος, ή σε ρομαντικές παρα­νοήσεις σχετικά με τη φύση και τη σπουδαιότητα των μαθηματικών.

“Μια συνέπεια της αριθμοφοβίας που σπάνια συζητιέται είναι η σχέση της με την πίστη στην ψευδοεπιστήμη, κι εδώ θα ερευνηθεί η αλληλεξάρτηση των δύο. Σε μια κοι­νωνία όπου η γενετική μηχανική, η τεχνολογία των λέιζερ και τα ολοκληρωμένα κυκλώματα καθημερινά προσθέτουν κάτι στην αντίληψή μας για τον κόσμο, είναι ιδιαίτερα λυπηρό ότι ένα σημαντικό τμήμα του ενήλικου πληθυσμού μας πιστεύει ακόμη στα Ταρό, τα μέντιουμ και την κρυ­σταλλομαντεία.

Ακόμη πιο δυσοίωνο είναι το χάσμα ανάμεσα στις επι­στημονικές εκτιμήσεις διαφόρων κινδύνων και στις διαδε­δομένες αντιλήψεις γι’ αυτούς τους κινδύνους, χάσμα που απειλεί να μας οδηγήσει τελικά είτε σε αβάσιμους και παραλυτικούς φόβους είτε σε απραγματοποίητες και οικο­νομικά εξουθενωτικές απαιτήσεις ασφαλιστικών εγγυή­σεων χωρίς ρίσκο. Οι πολιτικοί σπανίως βοηθούν από αυτή την άποψη διότι ασχολούνται με την κοινή γνώμη και επομένως δεν είναι πρόθυμοι να ξεκαθαρίσουν τους πιθανούς κινδύνους και τα τιμήματα που ενέχει οποιοδή­ποτε πολιτικό μέτρο.

Επειδή το βιβλίο ασχολείται σε μεγάλο βαθμό με διάφο­ρες ανεπάρκειες -την έλλειψη αριθμητικής προοπτικής, την υπερβολική προσοχή σε συμπτώσεις χωρίς νόημα, την εύπιστη αποδοχή των ψευδοεπιστημών, την ανικανότητα να αναγνωρίσουμε κοινωνικά τιμήματα και ούτω καθεξής- πολλά απ’ όσα γράφω έχουν έναν τόνο απομυθοποίησης. Παρ’ όλα αυτά, ελπίζω να έχω αποφύγει το υπέρμετρα σοβαρό και επιτιμητικό ύφος που συνηθίζεται σε πολλές προσπάθειες αυτού του είδους.

Η προσέγγιση σ’ όλο το βιβλίο είναι ήπια μαθηματική: χρησιμοποιεί μερικές βασικές ιδέες από τη θεωρία των πιθανοτήτων και τη στατιστική, που, μολονότι σοβαρές κατά μία έννοια, δεν απαιτούν τίποτε παραπάνω από κοινό νου και γνώσεις αριθμητικής. Μερικές από τις έν­νοιες που παρουσιάζω σπάνια συζητιούνται με όρους προ­σιτούς στο ευρύ κοινό και είναι από κείνες που οι μαθητές μου, λόγου χάρη, συχνά τις χαίρονται αλλά συνήθως τις αντιμετωπίζουν λέγοντας: «θα πρέπει να το ξέρουμε αυτό για το διαγώνισμα;» Εδώ δεν θα υπάρχει διαγώνισμα κι έτσι μπορεί κανείς να τις χαρεί ελεύθερα, ενώ το εκάστοτε δύσκολο κομμάτι μπορεί να το αγνοήσει ατιμωρητί.

Ένα επιχείρημα του βιβλίου είναι ότι οι αριθμόφοβοι άνθρωποι χαρακτηρίζονται από μια ισχυρή τάση να προ­σωποποιούν – να παραπλανώνται από τις ίδιες τις εμπει­ρίες τους, ή από την επικέντρωση των μαζικών μέσων σε άτομα και σε δραματικά γεγονότα. Από αυτό δεν εξυπα­κούεται ότι οι μαθηματικοί είναι απρόσωποι και τυπικοί. Εγώ δεν είμαι, ούτε κι αυτό το βιβλίο είναι. Ο στόχος μου όταν το έγραφα ήταν να προσελκύσω το ενδιαφέρον των μορφωμένων αλλά αριθμόφοβων – τουλάχιστον εκεί­νων που ο φόβος τους για τα μαθηματικά δεν είναι τόσο μεγάλος ώστε οι αριθμοί να τους προξενούν αυτομάτως καρδιακή αρρυθμία. Το βιβλίο θα αξίζει τον κόπο αν μπορέσει να δείξει πόσο ακριβώς η αριθμοφοβία διαπερ­νά την προσωπική και τη δημόσια ζωή μας.

Παραδείγματα και αρχές

Δυο αριστοκράτες κάνουν ιππασία και ο ένας προκαλεί τον άλλο να δούνε ποιος από τους δυο μπορεί να σκεφτεί τον μεγαλύτερο αριθμό. Ο δεύτερος δέχεται την πρόκληση, συγκεντρώνεται για λίγα λεπτά και αναφωνεί με περηφά­νια, «Τρία». Αυτός που πρότεινε το παιχνίδι μένει σιωπη­λός για μισή ώρα κι έπειτα σηκώνει τους ώμους και παραδέχεται την ήττα του.

Ένας καλοκαιρινός επισκέπτης μπαίνει σ’ ένα κατάστη­μα σιδηρικών στην πολιτεία του Μαίην[7] και αγοράζει μεγάλο αριθμό ακριβών πραγμάτων. Ο δύσπιστος, επιφυ­λακτικός καταστηματάρχης δεν λέει λέξη καθώς κάνει το λογαριασμό στο ταμείο. Όταν τελειώνει, δείχνει στον πε­λάτη το άθροισμα και παρακολουθεί καθώς εκείνος του μετράει 1.528,47 δολάρια. Μετά ξαναμετράει ο ίδιος μεθοδικά τα λεφτά, μία, δύο, τρεις φορές. Ο επισκέπτης τον ρωτάει τελικά αν του έχει δώσει το σωστό ποσό, οπότε ο καταστηματάρχης του Μαίην απαντάει απρόθυμα: «Ίσα ίσα».

Ο μαθηματικός G. Η. Hardy επισκέφτηκε τον προστατευόμενό του, τον Ινδό μαθηματικό Ραμανουγιάν, στο νο­σοκομείο. Για να κάνει κουβέντα, παρατήρησε ότι ο αριθ­μός 1729 του ταξί που τον είχε φέρει ήταν ένας μάλλον πληκτικός αριθμός, οπότε ο Ραμανουγιάν αμέσως αποκρίθηκε: «Όχι, όχι, Χάρντυ! Είναι πολύ ενδιαφέρων αριθ­μός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφρα­στεί ως το άθροισμα δύο κύβων, με δύο διαφορετικούς τρόπους».

Μεγάλοι αριθμοί, μικρές πιθανότητες

Η ευχέρεια των ανθρώπων με τους αριθμούς κυμαίνεται από την περίπτωση των αριστοκρατών ώς εκείνη του Ραμανουγιάν, αλλά το ατυχές γεγονός είναι ότι, αν πάρουμε για μέσο όρο τον καταστηματάρχη του Μαίην, οι περισ­σότεροι άνθρωποι βρίσκονται από την πλευρά των αριστο­κρατών. Πάντα εκπλήσσομαι και θλίβομαι όταν συναντώ φοιτητές στην Αμερική που δεν έχουν ιδέα πόσος είναι ο πληθυσμός των Ηνωμένων Πολιτειών, ή πόση είναι περί­που η απόσταση από την ανατολική στη δυτική ακτή τους, ή τι ποσοστό του κόσμου είναι χοντρικά οι Κινέζοι. Καμιά φορά τους ζητώ σαν άσκηση να εκτιμήσουν πόσο γρήγορα μεγαλώνουν τα ανθρώπινα μαλλιά σε μίλια ανά ώρα, ή πόσοι άνθρωποι περίπου πεθαίνουν στη γη κάθε μέρα, ή πόσα τσιγάρα καπνίζονται κάθε χρόνο σ’ αυτή τη χώρα. Παρά την κάποια αρχική απροθυμία τους (ένας φοιτητής επέμενε ότι απλούστατα τα μαλλιά δεν μεγαλώ­νουν σε μίλια ανά ώρα), συχνά παρουσιάζουν εντυπωσια­κή βελτίωση όσον αφορά την αίσθηση των αριθμών.

Χωρίς κάποια αντίληψη των κοινών μεγάλων αριθμών, είναι αδύνατο να αντιδράσουμε με τον απαιτούμενο σκε­πτικισμό σε τρομακτικές ειδήσεις του τύπου ότι πάνω από ένα εκατομμύριο Αμερικανόπουλα απάγονται κάθε χρόνο, ή με την απαιτούμενη νηφαλιότητα σε μία κεφαλή πυραύ­λου με εκρηκτική δύναμη ενός μεγατόνου – που ισοδυναμεί με ένα εκατομμύριο τόνους (ή ένα δισεκατομμύριο κιλά) Τρινιτροτολουόλης.

Αν δεν έχετε κάποια αίσθηση των πιθανοτήτων, τα αυτοκινητικά δυστυχήματα μπορεί να σας φαίνονται ένα σχετικά μικρό πρόβλημα τοπικών μετακινήσεων, ενώ το να σκοτωθεί κανείς από τρομοκράτες μπορεί να φαντάζει ως μείζων κίνδυνος των ταξιδιών στο εξωτερικό. Ωστόσο, όπως συχνά έχει παρατηρηθεί, τα 45.000 άτομα που σκο­τώνονται κάθε χρόνο στους αμερικανικούς αυτοκινητόδρο­μους είναι περίπου ίσα σε αριθμό με όλους τους Αμερικα­νούς νεκρούς του πολέμου του Βιετνάμ. Από την άλλη μεριά, οι δεκαεφτά Αμερικανοί που σκοτώθηκαν από τρομοκράτες το 1985 ήταν μεταξύ των 28 εκατομμυρίων συμπατριωτών τους που ταξίδεψαν στο εξωτερικό εκείνη τη χρονιά – αυτό σημαίνει μία πιθανότητα στις 1,6 εκα­τομμύρια να πέσει κανείς θύμα. Συγκρίνετέ το αυτό με τα εξής ετήσια ποσοστά στις Ηνωμένες Πολιτείες: μία πιθα­νότητα στις 68.000 να πνιγεί κανείς στραβοκαταπίνοντας, μία πιθανότητα στις 75.000 να πεθάνει σε ποδηλατικό ατύχημα, μία πιθανότητα στις 20.000 να πνιγεί κολυμπών­τας και μία πιθανότητα στις 5.300 μόνο να πεθάνει σε αυτοκινητικό δυστύχημα.

Αντιμέτωποι με αυτούς τους μεγάλους αριθμούς και με τις αντίστοιχες μικρές πιθανότητες που σχετίζονται μαζί τους, οι αριθμόφοβοι θα απαντήσουν αναπόφευκτα με το ακόλουθο: «Ναι, αλλά αν είσαι εσύ αυτός ο ένας», κι έπειτα θα κουνήσουν το κεφάλι με νόημα, σαν να έχουν καταρρίψει το επιχείρημά σου με τη διεισδυτική τους παρατήρηση. Αυτή η τάση προσωποποίησης είναι, όπως θα δούμε, ένα χαρακτηριστικό πολλών ανθρώπων που πάσχουν από αριθμοφοβία. Εξίσου χαρακτηριστική είναι η τάση να εξισώνουμε τον κίνδυνο που συνιστά μια θολή και εξωτική πάθηση με τις πιθανότητες να πάσχουμε από καρδιακές και κυκλοφοριακές ασθένειες, από τις οποίες πεθαίνουν 12.000 Αμερικανοί περίπου κάθε βδομάδα.

Υπάρχει ένα αστείο που μου αρέσει και σχετίζεται ορια­κά με όλα αυτά. Ένα ηλικιωμένο ανδρόγυνο γύρω στα ενενήντα καλεί ένα δικηγόρο διαζυγίων, ο οποίος τους εκλιπαρεί να παραμείνουν μαζί. «Γιατί να χωρίσετε τώρα μετά από εβδομήντα χρόνια γάμου; Γιατί να μην κρατήσε­τε ώς το τέλος; Γιατί τώρα;» Η γριούλα πετάγεται τελικά με σπασμένη φωνή, «θέλαμε να περιμένουμε μέχρι να πεθάνουν τα παιδιά».

Μια αίσθηση των ποσοτήτων και των χρονικών διαστη­μάτων που αντιστοιχούν σε διάφορες καταστάσεις είναι απαραίτητη για να κατανοηθεί ένα αστείο. Το γλίστρημα από τα εκατομμύρια στα δισεκατομμύρια, ή από τα δισε­κατομμύρια στα τρισεκατομμύρια θα έπρεπε μ’ αυτή την έννοια να είναι επίσης αστείο, αλλά δεν είναι, επειδή πολύ συχνά μας λείπει μία διαισθητική αντίληψη αυτών των αριθμών. Πολλοί μορφωμένοι άνθρωποι κατανοούν ελάχιστα αυτούς τους αριθμούς και μάλιστα αγνοούν ότι ένα εκατομμύριο είναι 1.000.000, ένα δισεκατομμύριο είναι 1.000.000.000 και ένα τρισεκατομμύριο είναι 1.000.000.000.000.

Μια πρόσφατη μελέτη των γιατρών Kronlund και Phil­lips του Πανεπιστημίου της Ουάσιγκτον έδειξε ότι οι εκτι­μήσεις των περισσότερων γιατρών σχετικά με τους κινδύ­νους διαφόρων εγχειρήσεων, θεραπευτικών αγωγών και φαρμάκων (ακόμη και στις ίδιες τις ειδικότητές τους) έπεφταν πολύ μακριά από το στόχο, συχνά μάλιστα αρκε­τές τάξεις μεγέθους. Συζητούσα μια φορά μ’ ένα γιατρό που, μέσα σε είκοσι λεπτά περίπου, δήλωσε ότι μια ορι­σμένη αγωγή που σκεφτόταν να εφαρμόσει α) είχε ρίσκο μία στο εκατομμύριο, 6) ήταν ασφαλής 99%, και γ) συ­νήθως πήγαινε αρκετά καλά. Δεδομένου ότι τόσοι πολλοί γιατροί φαίνονται να πιστεύουν ότι πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον έντεκα άτομα στο χώρο αναμονής του ιατρεί­ου τους για να αποφύγουν την αναδουλειά, αυτή η νέα ένδειξη της αριθμοφοβίας τους δεν με εκπλήσσει.

Για πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς αριθμούς, η λεγάμε­νη επιστημονική γραφή είναι συχνά πιο σαφής και πιο εύχρηστη από την κοινή γραφή και γι’ αυτό το λόγο θα τη χρησιμοποιήσω μερικές φορές. Δεν υπάρχει τίποτε πο­λύ περίπλοκο σ’ αυτήν: Το 10^Ν είναι 1 ακολουθούμενο από Ν μηδενικά, κι έτσι το ΙΟ⁴ είναι 10.000 και το 10⁹ είναι ένα δισεκατομμύριο. Το 10″^Ν είναι 1 διαιρούμενο με το 10^Ν, κι έτσι το ΙΟ^-4 είναι 1 διαιρούμενο με το 10.000 ή 0,0001 και το ΙΟ”² είναι ένα εκατοστό. Το 4 x 10⁶ είναι 4 χ 1.000.000 ή 4.000.000, το     5,3 x ΙΟ⁸ είναι

5,3 X 100.000.000 ή 530.000.000, το 2 x ΙΟ”³ είναι 2×1/ 1.000 ή 0,002, το 3,4 x ΙΟ^-7 είναι 3,4 x 1/10.000.000 ή 0,00000034.

Γιατί τα ειδησεσγραφικά περιοδικά και οι εφημερίδες δεν κάνουν την απαιτούμενη χρήση της επιστημονικής γραφής στα ρεπορτάζ τους; Η γραφή αυτή δεν είναι με κανένα τρόπο τόσο μυστηριώδης όσο πολλά από τα θέμα­τα που συζητιούνται σ’ αυτά τα μέσα, και είναι πολύ πιο χρήσιμη από την άκαρπη προσαρμογή στο μετρικό σύστη­μα[8], για την οποία γράφτηκαν τόσα βαρετά άρθρα. Η έκφραση 7,39842 x ΙΟ¹⁰ είναι πιο κατανοητή και ευανά­γνωστη από την άλλη: εβδομήντα τρία δισεκατομμύρια εννιακόσια ογδόντα τέσσερα εκατομμύρια και διακόσιες χιλιάδες.

Διατυπωμένες στην επιστημονική γραφή οι απαντήσεις στα ερωτήματα που θέσαμε νωρίτερα είναι: τα μαλλιά των ανθρώπων μεγαλώνουν χοντρικά μ’ ένα ρυθμό ΙΟ^-8 μιλίων την ώρα· 2,5 x ΙΟ⁵ άνθρωποι περίπου πεθαίνουν κάθε μέρα στη γη· και 5 x 10¹¹ τσιγάρα περίπου καπνί­ζονται κάθε χρόνο στις Ηνωμένες Πολιτείες. Αυτοί οι αριθμοί στην κοινή γραφή είναι: 0,00000001 μίλια την ώρα^– γύρω στους 250.000 ανθρώπους· περίπου 500.000.000.000 τσιγάρα.

Αίμα, βουνά και χάμπουργκερ

Σε μία στήλη του περιοδικού Scientific American για την αριθμοφοβία ο ειδικός στους ηλεκτρονικούς υπολογι­στές Douglas Hofstadter αναφέρει την περίπτωση της Ideal Toy Company, η οποία δήλωνε στη συσκευασία του αρχι­κού κύβου του Ρούμπικ ότι υπήρχαν πάνω από τρία δισε­κατομμύρια συνδυασμοί που μπορούσαν να γίνουν μ’ αυ­τό τον κύβο. Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι υπάρχουν πάνω από 4 X 10¹⁹ δυνατοί συνδυασμοί, ένα 4 ακολουθούμενο από 19 μηδενικά. Αυτό που γράφει η συσκευασία δεν είναι λάθος· υπάρχουν πάνω από τρία δισεκατομμύρια συνδυασμοί. Ωστόσο η υποτίμηση αυτή είναι σύμπτωμα μιας διαδεδομένης αριθμοφοβίας που δεν ταιριάζει σε μια τεχνολογικά εξοπλισμένη κοινωνία. Είναι ανάλογο με μία επιγραφή στην είσοδο της σήραγγας Λίνκολν που θα έγρα­φε: Νέα Υόρκη, πληθυσμός άνω των 6· ή με μία περήφανη ανακοίνωση των φαστ-φουντ McDonald, ότι έχουν πουλή­σει πάνω από 120 χάμπουργκερ.

Ο αριθμός 4 x 10¹⁹ δεν είναι και πολύ συνηθισμένος, όμως αριθμοί όπως δέκα χιλιάδες, ένα εκατομμύριο και ένα τρισεκατομμύριο είναι. Παραδείγματα συνόλων που αποτελούνται από ένα εκατομμύριο στοιχεία ή από ένα δισεκατομμύριο στοιχεία, και ούτω καθεξής, θα ’πρεπε να τα ’χει κανείς πρόχειρα για γρήγορες συγκρίσεις. Ξέρον­τας, για παράδειγμα, ότι αρκούν γύρω στις εντεκάμισι μέρες για να περάσουν ένα εκατομμύριο δευτερόλεπτα, ενώ χρειάζονται σχεδόν τριάντα δύο χρόνια για να περά­σουν ένα δισεκατομμύριο δευτερόλεπτα, κατανοούμε κα­λύτερα τα σχετικά μεγέθη των δύο αυτών κοινών αριθμών. Και τι γίνεται με τα τρισεκατομμύρια; Ο σύγχρονος Homo sapiens έχει ηλικία μάλλον μικρότερη από 10 τρισεκατομ­μύρια δευτερόλεπτα και η κατοπινή οριστική εξαφάνιση της πρώιμης εκδοχής του, που ήταν ο άνθρωπος του Νεάντερταλ, συντελέστηκε μόλις πριν ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα περίπου. Η γεωργία υπάρχει εδώ και 300 δισεκατομμύρια δευτερόλεπτα περίπου (δέκα χιλιάδες χρόνια), η γραφή 150 δισεκατομμύρια δευτερόλεπτα και η μουσική ροκ μόλις γύρω στο ένα δισεκατομμύριο δευτερό­λεπτα.

Πιο συνηθισμένες πηγές τέτοιων μεγάλων αριθμών είναι ο εθνικός προϋπολογισμός του ενός τρισεκατομμυρίου δο­λαρίων και τα αναπτυσσόμενα αποθέματα όπλων μας. Δεδομένου ότι ο πληθυσμός των ΗΠΑ είναι 250 εκατομμύ­ρια άτομα περίπου, κάθε δισεκατομμύριο δολάρια του εθνικού προϋπολογισμού μεταφράζεται σε 4 δολάρια για κάθε Αμερικανό. Επομένως, ο ετήσιος προϋπολογισμός του Υπουργείου Αμύνης, που είναι σχεδόν το ένα τρίτο ενός τρισεκατομμυρίου δολαρίων ανέρχεται σε 5.000 δο­λάρια το χρόνο περίπου για μια τετραμελή οικογένεια. Τι έχει αγοραστεί με όλες αυτές τις δαπάνες (δικές μας και δικές τους) τόσα χρόνια; Το ισοδύναμο σε Τρινιτροτο­λουόλη (ΤΝΤ) όλων των πυρηνικών όπλων στον κόσμο ανέρχεται σε 25.000 μεγατόνους ή 25 τρισεκατομμύρια κιλά ή 5.000 κιλά για κάθε άντρα, γυναίκα και παιδί πάνω στη γη (παρεμπιπτόντως, μισό κιλό σ’ ένα αυτοκίνη­το καταστρέφει το αυτοκίνητο και σκοτώνει όσους είναι μέσα). Τα πυρηνικά όπλα που είναι φορτωμένα σε ένα μόνο υποβρύχιο τύπου Trident έχουν οκτώ φορές τη δύνα­μη πυρός που χρησιμοποιήθηκε σε όλο τον Δεύτερο Παγ­κόσμιο Πόλεμο.

Για να αναφέρω μερικά πιο χαρούμενα παραδείγματα με μικρότερους αριθμούς, το μέτρο που χρησιμοποιώ για την ταπεινή χιλιάδα είναι ένα τμήμα του Σταδίου των

Απομάχων στη Φιλαδέλφεια, που ξέρω ότι περιέχει 1.008 καθίσματα και που εύκολα φέρνω στο νου την εικόνα του. Ο βορεινός τοίχος ενός γκαράζ κοντά στο σπίτι μου περιέχει σχεδόν με ακρίβεια δέκα χιλιάδες στενά τούβλα. Όσο για τις εκατό χιλιάδες συνήθως σκέφτομαι τον αριθ­μό των λέξεων σ’ ένα αρκετά μεγάλο μυθιστόρημα.

Για να τα βγάζετε πέρα με μεγάλους αριθμούς είναι χρήσιμο να βρείτε ένα ή δύο σύνολα όπως τα παραπάνω που να αντιστοιχούν σε κάθε δύναμη του δέκα, μέχρι ας πούμε τη 13η ή τη 14η. Όσο πιο προσωπικά μπορεί να είναι αυτά τα σύνολα τόσο το καλύτερο. Είναι επίσης καλή τακτική να υπολογίζετε οποιαδήποτε ποσότητα κεν­τρίζει την περιέργειά σας. Πόσες πίτσες καταναλώνονται κάθε χρόνο στις Ηνωμένες Πολιτείες; Πόσες λέξεις έχετε πει στη ζωή σας; Πόσα διαφορετικά ονόματα ανθρώπων εμφανίζονται στους Τάιμς της Νέας Υόρκης κάθε χρόνο; Πόσα καρπούζια θα χωρούσαν μέσα στο κτίριο του Καπι­τωλίου των ΗΠΑ;

Υπολογίστε πρόχειρα πόσες σεξουαλικές επαφές γίνον­ται κάθε μέρα στον κόσμο. Ο αριθμός αυτός ποικίλλει άραγε πολύ από μέρα σε μέρα; Υπολογίστε σε γενικές γραμμές τον αριθμό των ανθρώπων που θα μπορούσαν να είχαν γεννηθεί με βάση όλα τα ανθρώπινα ωάρια και σπέρματα που έχουν υπάρξει ποτέ και θα βρείτε ότι αυτοί που φτάνουν στην πραγμάτωση είναι εξ αυτού και μόνο απίστευτα και απίθανα τυχεροί.

Αυτοί οι υπολογισμοί είναι εν γένει αρκετά εύκολοι και πολλές φορές εκφραστικοί. Παραδείγματος χάρη, ποιος είναι ο όγκος όλου του ανθρώπινου αίματος στον κόσμο; Ο μέσος ενήλικος άντρας έχει γύρω στα έξι λίτρα αίματος, οι ενήλικες γυναίκες λίγο λιγότερο, τα παιδιά σημαντικά λιγότερο. Έτσι, εάν υπολογίσουμε ότι κατά μέσο όρο καθένας από τα 5 δισεκατομμύρια ανθρώπων περίπου στον κόσμο έχει γύρω στα 3,8 λίτρα αίματος, έχουμε γύρω στα 19 δισεκατομμύρια (19 x 10⁹) λίτρα αίματος στον κό­σμο. Επειδή αντιστοιχούν 1.000 λίτρα σε κάθε κυβικό μέτρο, υπάρχουν περίπου 19 x ΙΟ⁶ κυβικά μέτρα αίματος. Η κυβική ρίζα του 19 x ΙΟ⁶ είναι 267. Έτσι όλο το αίμα στον κόσμο θα χωρούσε μέσα σ’ έναν κύβο πλευράς 267 μέτρων, μικρότερο δηλαδή από το 1/50 ενός κυβικού χιλιο­μέτρου!

To Central Park της Νέας Υόρκης έχει έκταση 3.360 στρέμματα, ή 3,36 τετραγωνικά χιλιόμετρα περίπου. Αν χτίζονταν τοίχοι γύρω του, όλο το αίμα στον κόσμο θα κάλυπτε το πάρκο σ’ ένα βάθος λίγο μικρότερο από 6 μέτρα. Η έκταση της Νεκρός θάλασσας στα σύνορα Ισ- ραήλ-Ιορδανίας είναι 1.000 τετραγωνικά χιλιόμετρα. Αν έμπαινε όλο το αίμα του κόσμου στη Νεκρά θάλασσα, θα πρόσθετε λιγότερο από 2 εκατοστά στο βάθος της. Ακόμη και χωρίς συγκεκριμένο πλαίσιο αναφοράς οι αριθμοί αυτοί προξενούν έκπληξη: δεν υπάρχει και τόσο πολύ αίμα στον κόσμο! Συγκρίνετέ το αυτό με τον όγκο όλης της χλόης, όλων των φύλλων ή όλων των φυκιών στον κόσμο, και η περιθωριακή θέση του ανθρώπου ανάμεσα στις άλλες μορφές ζωής, τουλάχιστον από πλευράς όγκου, γίνεται ολοφάνερη.

Αλλάζοντας διαστάσεις για μια στιγμή, σκεφτείτε το λόγο της ταχύτητας του υπερηχητικού Κόνκορντ, που πε- τάει με 3.200 χιλιόμετρα την ώρα περίπου, προς αυτήν ενός σαλιγκαριού, που διανύει σχεδόν 8 μέτρα την ώρα ή 0,008 χιλιόμετρα την ώρα. Η ταχύτητα του Κόνκορντ είναι 400.000 φορές μεγαλύτερη από αυτήν του σαλιγκαριού. Ένας ακόμη πιο εντυπωσιακός λόγος είναι εκείνος της ταχύτητας με την οποία ένας μέσος ηλεκτρονικός υπολογι­στής προσθέτει δεκαψήφιους αριθμούς προς την ταχύτητα με την οποία το κάνουν οι ανθρώπινοι υπολογιστές. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές εκτελούν αυτή την πράξη ένα εκατομμύριο φορές πιο γρήγορα από μας με τα σαλιγκα- ροειδή σκαλίσματά μας, και για έναν υπερυπολογιστή, ο λόγος αυτός είναι πάνω από ένα δισεκατομμύριο προς ένα.

Ένας τελευταίος πολύ γήινος υπολογισμός που χρήσιμο- ποιεί ένας επιστημονικός σύμβουλος του ΜΙΤ [Τεχνολογι­κό Ινστιτούτο Μασσαχουσέττης] για να ξεδιαλέξει μελλον­τικούς υπαλλήλους, κατά τη διάρκεια των συνεντεύξεων που δίνουν για να προσληφθούν, είναι ο εξής: Πόσο καιρό, ρωτάει, θα έκαναν τα σκουπιδιάρικα να ξεσηκώ­σουν και να μεταφέρουν κομμάτι κομμάτι ένα μεμονωμένο βουνό, ας πούμε το όρος Φούτζι της Ιαπωνίας, μέχρι να ισοπεδωθεί; Ας υποτεθεί ότι έρχονται κάθε δεκαπέντε λεπτά, είκοσι τέσσερις ώρες την ημέρα, γεμίζουν αμέσως με χώματα και πέτρες και φεύγουν χωρίς το ένα να εμπο­δίζει το άλλο στην πορεία του. Η απάντηση είναι κάπως απροσδόκητη και θα δοθεί αργότερα.

[*] Innumeracy: νεολογισμός, που σχηματίζεται κατ’ αναλογία του illiteracy (αναλφαβητισμός, αγραμματοσύνη). Ένας αντίστοιχος σχηματισμός στα ελληνικά θα έδινε όρους και παράγωγα που προσκρούουν σε προϋπάρ- χουσες σημασίες: αναριθμητισμός (εσφαλμένη διάταξη των ψηφίων αριθ­μού, κάτι σαν αναγραμματισμός), αναρίθμητος, ανάριθμος, ενάριθμος. Προτιμήθηκε έτσι ο πιο εύηχος και σαφής όρος αριθμοφοόία (και τα συγγενικά ή παράγωγά του: αριθμοφιλία, αριθμόφοβος κ.λπ.), που απο­δίδει το όλο φαινόμενο, υπογραμμίζοντας τον «παθολογικό» χαρακτήρα του, στον οποίο επιμένει ο συγγραφέας. Αρκεί να αναγνωρίζει κανείς με αυτή τη λέξη (όπως θα έκανε και με τις ανάλογες ονομασίες ψυχοπαθο- λογικών εκδηλώσεων, π.χ. αγοραφοβία, αρρωστοφοβία) όχι μόνο το δέος που προκαλούν συχνά οι αριθμοί και τα μαθηματικά προβλήματα αλλά και τη συνακόλουθη αμηχανία, δυσπραγία και ανικανότητα των ανθρώπων στο χειρισμό τους, (σ.τ.μ.)

[†] Innumeracy: νεολογισμός, που σχηματίζεται κατ’ αναλογία του illiteracy (αναλφαβητισμός, αγραμματοσύνη). Ένας αντίστοιχος σχηματισμός στα ελληνικά θα έδινε όρους και παράγωγα που προσκρούουν σε προϋπάρ- χουσες σημασίες: αναριθμητισμός (εσφαλμένη διάταξη των ψηφίων αριθ­μού, κάτι σαν αναγραμματισμός), αναρίθμητος, ανάριθμος, ενάριθμος. Προτιμήθηκε έτσι ο πιο εύηχος και σαφής όρος αριθμοφοόία (και τα συγγενικά ή παράγωγά του: αριθμοφιλία, αριθμόφοβος κ.λπ.), που απο­δίδει το όλο φαινόμενο, υπογραμμίζοντας τον «παθολογικό» χαρακτήρα του, στον οποίο επιμένει ο συγγραφέας. Αρκεί να αναγνωρίζει κανείς με αυτή τη λέξη (όπως θα έκανε και με τις ανάλογες ονομασίες ψυχοπαθο- λογικών εκδηλώσεων, π.χ. αγοραφοβία, αρρωστοφοβία) όχι μόνο το δέος που προκαλούν συχνά οι αριθμοί και τα μαθηματικά προβλήματα αλλά και τη συνακόλουθη αμηχανία, δυσπραγία και ανικανότητα των ανθρώπων στο χειρισμό τους, (σ.τ.μ.)

[‡] Οι αντίστοιχες αγγλικές λέξεις είναι «imply» και «infer». Από τις πολλαπλές σημασίες και τις πιθανές αποδόσεις τους επιλέξαμε δύο που και στα ελληνικά μπορεί να συγχέονται. (σ.τ.μ.)

[§] Οι αγγλικές λέξεις είναι «continually» και «continuously». Μεταφέρου­με εδώ μια παραπλήσια λεπτή διαφορά των ελληνικών, (σ.τ.μ.)

[**] Δημοφιλής πολιτικός επιστήμονας και παιδαγωγός, (σ.τ.μ.)

[††] Η φράση στο πρωτότυπο είναι: «- at least to those whose fear of mathematics is not so great that (num)(ber) is automatically read as (numb)(er)». Πρόκειται για λογοπαίγνιο του συγγραφέα με τη λέξη «number» που βγαίνει από τη ρίζα num, προφέρεται νάμπερ και σημαίνει «αριθμός». Αν έβγαινε από το ρήμα «numb» (παραλύω, μουδιάζω) θα προφερόταν νάμερ και θα μπορούσε να σημαίνει «αυτό(ν) που προκαλεί παράλυση, μσύδιασμα». Καθώς το λογοπαίγνιο αυτό δεν αποδίδεται στα ελληνικά δοκιμάσαμε ένα άλλο, ανάλογο, (σ.τ.μ.)

[7] Maine: πολιτεία στη Νέα Αγγλία των ΗΠΑ, όπου οι άνθρωποι θεω­ρούνται συγκροτημένοι και λιγομίλητοι. (σ.τ.μ.)

[8] Αντίθετος στην προσαρμογή στο μετρικό σύστημα, που συντελέστηκε στις ΗΠΑ, ο συγγραφέας χρησιμοποιεί το παραδοσιακό αγγλικό σύστημα σε όλο το βιβλίο. Στη μετάφραση βέβαια η μετατροπή στο εδώ ισχύ ον μετρικό σύστημα ήταν απαραίτητη, πολύ περισσότερο που σκοπός του έργου είναι η εξοικείωση του αναγνώστη με τα μαθηματικά μεγέθη, (σ.τ.μ.).

Από την εισαγωγή του βιβλίου “Αριθμοφοβία – ο μαθηματικός αναλφαβητισμός” του John Allen Paoulos