Η διδασκαλία των Μαθηματικών έθετε πάντα ένα πρόβλημα αρκετά παράδοξο. Υπάρχει πραγματικά μια ορισμένη κατηγορία μαθητών –έξυπνοι κατά τα άλλα και που είναι ικανοί μάλιστα να παρουσιάζουν μια ανώτερη ευφυΐα σε άλλους τομείς– που όμως αποτυχαίνουν, σχεδόν συστηματικά, στα Μαθηματικά. Κι όμως τα Μαθηματικά αποτελούν μια άμεση προέκταση της ίδιας της λογικής, σε σημείο που είναι αδύνατο πια να χαράξουμε σταθερά σύνορα ανάμεσα στους δύο τομείς (κι αυτό ανεξάρτητα από την ερμηνεία που θα δώσουμε σ’ αυτή τη σχέση: ταυτότητα, διαδοχική συγκρότηση κτλ.).
Είναι δύσκολο λοιπόν να καταλάβουμε γιατί παιδιά τόσο προικισμένα στην επεξεργασία και χρησιμοποίηση των αυθόρμητων λογικο-μαθηματικών δομών της νόησης, χωλαίνουν στην κατανόηση μιας διδασκαλίας που αναφέρεται αποκλειστικά σ’ αυτά που μπορούν να προκύψουν από τέτοιες δομές. Τα γεγονότα όμως υπάρχουν και θέτουν ένα πρόβλημα.
Οι άνθρωποι απαντούν συνήθως με έναν κάπως εύκολο τρόπο, μιλώντας για «κλίση» στα Μαθηματικά (ή για «ιδιοφυΐα» για να θυμηθούμε τον Gall).
Αλλά, αν οι υποθέσεις που κάναμε μόλις παραπάνω (για τις σχέσεις που έχει αυτή η μορφή γνώσης με τις βασικές ενεργητικές δομές της σκέψης) είναι σωστές, ή αυτή η «κλίση» (ή «ιδιοφυΐα») συγχέεται με την ίδια τη νόηση – ή βέβαια έχει άμεση σχέση όχι με αυτά τα ίδια τα Μαθηματικά αλλά με τον τρόπο που διδάσκονται.
Πραγματικά, μολονότι οι ενεργητικές δομές της νόησης είναι λογικο-μαθηματικής φύσης, δεν είναι συνειδητές ως δομές στο μυαλό των παιδιών: είναι δομές διανοητικών πράξεων και ενεργειών, που κατευθύνουν βέβαια τον συλλογισμό του υποκειμένου, αλλά δεν αποτελούν αντικείμενο λογικής εξέτασης από τη μεριά του (όπως ακριβώς μπορεί κανείς να τραγουδάει σωστά χωρίς να είναι υποχρεωμένος να συγκροτήσει τη θεωρία του σολφέζ και μάλιστα χωρίς να ξέρει να διαβάζει μουσική).
Η διδασκαλία των Μαθηματικών απεναντίας προτρέπει τα υποκείμενα να προβληματιστούν πάνω στις ίδιες τις δομές, και αυτό το κάνει μέσα από μια τεχνητή γλώσσα που έχει έναν πολύ ιδιαίτερο συμβολισμό και απαιτεί ένα μάλλον υψηλό βαθμό αφαίρεσης.
Η λεγόμενη «κλίση στα Μαθηματικά» μπορεί λοιπόν ν’ αναφέρεται ή στην κατανόηση αυτής της ίδιας της γλώσσας (σε αντίθεση με τις δομές που περιγράφει) ή στην ταχύτητα αφαίρεσης που σχετίζεται μ’ έναν τέτοιο συμβολισμό – και όχι στον προβληματισμό πάνω στις δομές, οι οποίες άλλωστε φαίνονται φυσικές.
Επιπλέον, καθώς υπάρχει αμοιβαία εξάρτηση όλων των στοιχείων σε μια επαγωγική επιστήμη, η αποτυχία ή η παρανόηση που αναφέρεται σ’ αυτόν ή εκείνον τον κρίκο επιφέρει μεγαλύτερες δυσκολίες στην συνέχεια της αλυσίδας, έτσι ώστε ο μαθητής που δεν προσαρμόστηκε σ’ ένα σημείο να μην καταλαβαίνει πια τη συνέχεια και ν’ αμφιβάλει όλο και πιο πολύ για τον εαυτό του (συναισθηματικά κόμπλεξ, που συχνά επιτείνονται από το περιβάλλον, έχουν σαν αποτέλεσμα να μπλοκάρουν μια αγωγή που θα μπορούσε να ήταν τελείως διαφορετική).
Με μια λέξη, το κεντρικό πρόβλημα της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι η αμοιβαία προσαρμογή των αυθόρμητων ενεργητικών δομών της νόησης και του προγράμματος ή των αντίστοιχων μεθόδων διδασκαλίας των διαφόρων τομέων των Μαθηματικών.
Το πρόβλημα αυτό, λοιπόν, διαφοροποιήθηκε σημαντικά τις τελευταίες δεκαετίες εξαιτίας των αλλαγών σ’ αυτά τα ίδια τα Μαθηματικά. Μέσα από μια διαδικασία –σε πρώτο επίπεδο παράδοξη, αλλά ψυχολογικά φυσική και εξηγήσιμη– οι πιο αφηρημένες και γενικές δομές των σύγχρονων Μαθηματικών συναντούν, όλο και περισσότερο, τις φυσικές ενεργητικές δομές της νόησης και της σκέψης, πράγμα που δεν συνέβαινε με τις ιδιαίτερες δομές που συγκροτούσε το σύστημα των κλασικών Μαθηματικών και της διδασκαλίας.
Γνωρίζουμε πράγματι, μετά τις εργασίες της σχολής Bourbaki (που αποτελούν προέκταση μιας μακριάς σειράς προσπαθειών προς την ίδια κατεύθυνση), ότι τα Μαθηματικά εμφανίζονται σήμερα όχι πια σαν ένα σύνολο κεφαλαίων λίγο πολύ ξεχωριστών, αλλά σαν μια πλατιά ιεραρχία δομών που αλληλοπερικλείονται, ξεκινώντας από κάποιες «μητρικές δομές», οι οποίες συνδυάζονται ή διαφορίζονται μεταξύ τους με διάφορους τρόπους.
Αυτές οι βασικές δομές είναι τρεις:
Οι αλγεβρικές δομές, που χαρακτηρίζονται από μια αντιστρεψιμότητα της μορφής Τ – Τ -1 = 0 και που το αρχέτυπό τους είναι η «ομάδα», οι δομές ταξινόμησης που η αντιστρεψιμότητά τους είναι μια αμοιβαιότητα χαρακτηριστική των συστημάτων σχέσεων και που το αρχέτυπό τους είναι το «δίκτυο» και οι τοπολογικές δομές που αναφέρονται στις έννοιες της συνέχειας και της γειτνίασης (αμφιμονοσήμαντες αντιστοιχίες κτλ.).
Συμβαίνει λοιπόν αυτές οι τρεις μητρικές δομές να παρουσιάζουν μια μεγάλη αντιστοιχία με τις βασικές ενεργητικές δομές της σκέψης.
